Don Luigi era nato il 22 giugno del 1898 a Cislago tra Varese e Milano. Il bambino apparve molto gracile, venne battezzato immediatamente e fatto cresimare all'età di un anno e mezzo. Fortunatamente la sua salute lentamente andò migliorando e con gli anni egli si irrobustì.

Nel maggio 1913 un grave incidente cambiò radicalmente la vita della famiglia Monza:  il padre Giuseppe cadde da un albero rimanendo paralizzato. Egli confidò al suo parroco, don Luigi Vismara, che da tempo sentiva il desiderio di consacrarsi al Signore nel sacerdozio.

Nel settembre del 1913, grazie all'aiuto del suo parroco, Luigi partì per l'Istituto missionario salesiano di Penango Monferrato presso Asti. Al rientro a casa per le vacanze estive dopo l'anno scolastico 1915/16 trovò la situazione familiare peggiorata. Il padre infatti era ormai completamente invalido e costretto a letto e Pietro, il figlio maggiore, era stato chiamato a combattere sul fronte orientale. Luigi decise di non lasciare il peso della famiglia solo sulle spalle della madre, visto che la sorella Giuseppina era entrata fra le Suore di carità dell'Immacolata Concezione di Ivrea e non tornò a Penango.

Don Vismara venne di nuovo in suo aiuto e riuscì a farlo entrare al Collegio Villoresi di Monza. Quando sembrava tutto risolto, il 16 gennaio 1917 perse il padre e poi fu chiamato sotto le armi. Dopo il congedo riprese gli studi. Il Cardinal Tosi lo ordinò sacerdote il 19 settembre 1925. Fu destinato alla chiesa parrocchiale di s. Maurizio a Vedano Olona, in provincia di Varese. Don Monza si inserì subito nella vita della parrocchia. Il suo metodo era basato sulla testimonianza personale come forma diretta di evangelizzazione, sull'esercizio della carità, sulla formazione di una comunità capace di vivere relazioni immediate e profonde. Si prodigò per fondare o rafforzare tre importanti gruppi:  la schola cantorum, con il gruppo delle voci bianche, la filodrammatica e la società sportiva "Viribus unitis". Inoltre creò una scuola di francese, per permettere agli emigranti, quasi tutti diretti in Francia o in Svizzera, di conoscere le basi della lingua con cui avrebbero potuto comunicare nel nuovo paese. L'attività che riscosse maggiore successo fu quella sportiva della squadra di calcio "Viribus unitis". Nel maggio del '26 i fascisti costituirono l'Unione Sportiva Vedanese, con l'evidente intenzione di contrastare la "squadra dei preti". Poiché non riscossero molte adesioni passarono alle provocazioni innescando una sequela di violenze che, nonostante la mediazione di don Luigi, culminarono nell'arresto di otto giovani dell'oratorio. Anche Don Luigi venne arrestato insieme a don De Maddalena e nonostante l'intervento della Curia dovettero passare quattro lunghi mesi prima che i due venissero liberati.

Don Luigi fu assolto con formula piena anche se gli venne ingiunto di non recarsi a Vedano. Dopo la scarcerazione, la diocesi decise di trasferire momentaneamente il giovane sacerdote alla parrocchia di S. Maria del Rosario a Milano, per poi destinarlo al Santuario di Nostra Signora dei Miracoli a Saronno, dove giunse nel novembre 1928. Fu in questo ambiente familiare che don Luigi formò il primo nucleo oratoriano, costituito inizialmente da non più di trenta ragazzi. Egli in poco tempo costituì una corale e la sua casa divenne un'aula per studiare e insieme sala di canto e di ricreazione.

Lentamente germogliò l'idea dell'Opera che poi prese il nome di "Nostra Famiglia". Quando nel maggio del 1933 incontrò per la prima volta la signorina Clara Cucchi capì che era la persona giusta per iniziare a concretizzare il progetto che aveva in mente. Dopo Clara fu la volta di Teresa Pitteri. Il 30 ottobre del 1936 don Luigi partecipò alla prima riunione ufficiale che diede inizio all'istituto che da quel giorno prese il nome "La Nostra Famiglia". Quindi si diede da fare per l'acquisto di una casa e, con grandi sacrifici personali, riuscì a comprare un terreno situato a Vedano Olona sul quale venne posta la prima pietra il 29 agosto 1937.

Nel frattempo venne nominato parroco della chiesa di S. Giovanni alla Castagna di Lecco, un rione periferico della città. Nel giro di pochi mesi riuscì a conquistarsi la simpatia dei parrocchiani facendosi amare e apprezzare per le sue doti umane e spirituali. Al centro della vita della parrocchia pose l'adorazione eucaristica che egli praticò assiduamente e con cui "contagiò" i suoi parrocchiani. Ma dalle tante testimonianze che ci sono rimaste del periodo di Lecco, risulta chiaro che nel ministero di don Luigi avesse una grande importanza anche la predicazione, caratterizzata da grande semplicità. Con l'arrivo di don Monza a S. Giovanni l'associazionismo cattolico, già presente nella parrocchia, ebbe nuovi stimoli e nuovo vigore; egli infatti si dedicò con grande cura allo sviluppo di tutte le organizzazioni cattoliche. E proprio i laici divennero ben presto protagonisti delle numerose attività.

Il 1° settembre 1939 scoppiava la II Guerra Mondiale. Anche a S. Giovanni alla Castagna molti giovani, più di 350, dovettero lasciare le proprie case per rispondere alla chiamata alle armi, gettando nello sconforto le proprie famiglie. A don Luigi toccò il compito di assistere spiritualmente e materialmente coloro che rimanevano in paese.

Terminato il conflitto la vera pace era ancora lontana. A Vedano gli sfollati tornarono ai propri paesi e la casa de La Nostra Famiglia rimase a disposizione per nuove iniziative. Nel gennaio del 1946 il professor Giuseppe Vercelli, direttore dell'Istituto Neurologico Carlo Besta di Milano, propose a Clara Cucchi di occuparsi della rieducazione dei bambini anormali psichici. Questa attività, che ben si inseriva nello spirito dell'Istituto, si prospettava estremamente impegnativa e rischiosa per la piccola comunità, composta da ragazze digiune di conoscenze medico pedagogiche. Ma don Luigi e Clara si lasciarono guidare dagli eventi, scorgendo nella proposta del Vercelli un segno della volontà di Dio.

Don Luigi viveva l'impegno di parroco e quello per La Nostra Famiglia come completamento e fusione della carità. L'Opera aveva ancora bisogno del suo fondatore e fu grazie infatti alla sua guida che la giovane comunità si consolidò per affrontare un futuro di orizzonti così vasti che nessuna delle sorelle avrebbe potuto allora nemmeno immaginare. Ma tutto questo impegno fu considerato eccessivo da alcuni. E lo stesso Cardinal Schuster lo esortò categoricamente a scegliere tra la parrocchia e la direzione delle sue religiose. Don Luigi soffrì molto per queste critiche, in particolare quelle dell'Arcivescovo al quale cercò di spiegare la situazione con una lettera, pronto comunque a obbedire incondizionatamente a qualunque direttiva.

In quegli anni si accentuarono i disturbi cardiaci di cui don Monza soffriva da tempo, aggravati sicuramente dal dolore per la perdita della madre, avvenuta il 17 aprile 1953. Il 25 agosto 1954, di ritorno dalla casa di Varazze, iniziò ad accusare alcuni dolori che nel giro di poche ore peggiorarono. Il medico lo fece ricoverare all'ospedale per un elettrocardiogramma. L'esito non lasciò dubbi:  grave infarto in atto. Le condizioni peggiorarono. La mattina del 29 settembre 1954 ricevette l'Eucaristia. Si spense invocando:  "Gesù mio, misericordia...".